Arătați că $\displaystyle log_{16} 2 - log_8 2 + log_4 2 = 1$.

Considerați funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 5x+7$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care punctul $\displaystyle M(m, 2022)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{5x-2}=\sqrt{3}$.

După două scumpiri succesive cu $\displaystyle 20 \%$ prețul unui obiect este de $\displaystyle 180$ lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,7)$ și $\displaystyle B(2,5)$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle AB$.

Arătați că $\displaystyle (\sin 45^{\circ} - \sin 30^{\circ})(\sin 45^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4}$.

Arătați că $\displaystyle (-2) * 2 = 2 \implies -2+2 = 2$.

Arătați că legea de compoziție "," o " este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle x * (y+5) - 18 = xy$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care care $\displaystyle x * (-x) = 7$.

Demonstrați că $\displaystyle ((−x)=y) * ((x+y)=28)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle a * b = -19$.

Arătați că $\displaystyle det(A)=0$.

Calculați $\displaystyle A \cdot A$.

Calculați $\displaystyle X(1) = I_2 - A$, deci $\displaystyle X(-1) + X(-1) + A = 2I_2$.

Demonstrați că $\displaystyle X(A) - X(-1) = A^2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle X(a)$ nu este inversabilă.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle det(X(a^2)) \le 10$.