Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & a \\ 2 & 1 & -1 \\ a & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+3y+az = 1 \\ 2x+y-z = 1 \\ ax+3y+z = 1 \end{cases}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A^2(a)$ este matricea nulă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0 \leq 0$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ numere reale.

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $\displaystyle z_1 \ast z_2 = \frac{z_1+z_2}{4-|z_1||z_2|+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \ast 2 = \frac{1}{9}$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea $\displaystyle |z \ast i|=|z|$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{x^4+16}}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x^2-4)(x^2+4)}{x^2\sqrt{x^4+16}}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{4}{x}\right)=m$ are exact două soluții.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+1}{e^{x^2}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^{x^2}f(x)dx=12$.

b) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3}{e^{x^2}f(x)}dx = \frac{a-\sqrt{2}}{3}$.