Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ a & i & a \\ -1 & a & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle i^2 = -1$ și $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = i$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Calculați $\displaystyle A(0) \cdot A(0) \cdot A(0) \cdot ... \cdot A(0)$, de 2022 ori.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x \circ y = xy - 6x - 6y + 42$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-6)(y-6)+6$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (x, x')$ unde $\displaystyle x'$ este simetricul lui $\displaystyle x$ în raport cu legea „$\displaystyle \circ$” .

c) Calculați $\displaystyle \frac{2022}{1} \circ \frac{2022}{2} \circ \frac{2022}{3} \circ ... \circ \frac{2022}{2022}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \operatorname{arctg} x - \ln(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \operatorname{arctg} x - \frac{x}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Fie funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f'(x)$. Determinați imaginea funcției $\displaystyle g$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-\infty, 0) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x\sqrt{1-x}$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f^2(x)}{x^2} dx$, $\displaystyle x \in (-\infty, 0)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b, c$ astfel încât funcția $\displaystyle F: (-\infty, 0) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = (ax^2+bx+c)\sqrt{1-x}$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Fie $\displaystyle G: (-\infty, 0) \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{G(x)}{x\sqrt{(-x)^5}}$.