Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x & 0 \ 1 & 1-x & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle (A(x)-I_3)(A(x)-I_3)=O_3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(x)=xA(x)-(x-1)I_3$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=(x+y)^2-2(x-y)-3$.

a) Arătați că $\displaystyle 0*2=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*(x+1)=8$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*n=2mn$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2-5x+10)\sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{5(x^2-3x+2)}{2\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x\sqrt{x}}=10$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+e^x+\frac{1}{e^x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2} (f(x)-e^x-\frac{1}{e^x+1})dx=e^2+1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x-e^x)dx=\ln(e+1)-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{1} x(f(x)+f(-x))dx=\frac{m}{2e}$.