Se consideră matricele $\displaystyle I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & -x \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(1) \cdot A(-1) = 2I_3$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1) = A(x) + 3A(1)$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{xy(x+y)}{xy+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, cu $\displaystyle m \le n$, pentru care $\displaystyle \frac{1}{m} * \frac{1}{n} = \frac{1}{16}(m * n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-3x+1}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+5x-4}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=n$ are soluție unică, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = \frac{1}{2}\ln 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} f^2(x) dx = \frac{19}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^2 \frac{x^n}{f^2(x)} dx$. Determinați numărul natural $\displaystyle n, n \ge 2$, pentru care $\displaystyle I_{n+2}+4I_n=\frac{3}{n-1}$.