a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot A(n+1) \cdot A(n+2) \cdot A(n+3)=A(2n^2)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 0 = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$, $\displaystyle x$ nenul, pentru care $\displaystyle x \ast \frac{4}{x}=x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in [1,2)$, ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^4 (f(x)-\sqrt{x^2+9})dx = 0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)+x-3}dx=2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{f(x)}dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n=0$.