Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(\alpha)= \alpha I_3 + \beta B$, unde $\displaystyle z=a+ib$, $\displaystyle cu$ $\displaystyle \alpha$ și $\displaystyle \beta$ numere reale și $\displaystyle i^2=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(z_1) \cdot A(z_2) = A(z_1z_2)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle z_1$ și $\displaystyle z_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i) = nI_3$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(1,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y = \log_2(2^{x^2}+2^{y^2}-2^{x^2y^2}+6)$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = \log_2( (2^{x^2}-2)(2^{y^2}-2)+2)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție ,,*''.

c) Arătați că $\displaystyle x*x*x < 3x$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^3+3x+1)e^{-x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)} \cdot e^x = e^{-2}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{e^{-x}}-1$ are un singur punct de extrem.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x \ln(x-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x}dx = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(\sqrt{7}) < F(3)$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \int_2^3 f(x)dx = m(4 \ln 2-1)$.