Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle 3B(2)+B(6) = 4B(3)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \left(B(-x)-B(x)\right) \cdot \left(B(-x)+B(x)\right) = A+B(3)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 3x+4y-25$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 4 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \circ x = 5$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m^{2} \circ 1 \ge 1 \circ m^{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\left(-\frac{1}{3},+\infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{3x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(3x+1)^{2}}$, $\displaystyle x \in \left(-\frac{1}{3},+\infty\right)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^{2}+\ln x-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{4}\left(f(x)-\ln x+1\right)dx = 21$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{2}^{4} \frac{x}{f(x)-\ln x}\,dx = \frac{1}{2}\ln 5$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{f(x)}{x^{2}}\,dx = \frac{a-\ln a}{a}$.