Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ -1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 10$.

b) Arătați că $\displaystyle 2B(5) + B(-1) = 3B(3)$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A - B(x)) = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = x y - 2 (x+y) + 8$.

a) Arătați că $\displaystyle 4 \ast 4 = 4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x \ast 1) \ast (x+1) = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{-8x}{(2x^2+1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{24(2x^2-1)}{(2x^2+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (xf(x)\ln x) = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3+6x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x^3)dx = 9$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-6x} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^a f(\sqrt{x})dx = \frac{a^3}{5}$.