Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A+B=3A$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot X - B = X - I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 3xy - 3(x+y) + 3$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 3 = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle e=2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (x+6) \ge 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x + \frac{4}{x} - 5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că nu există asimptotă spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x+3x^2+3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3x^2-3) dx = e^2-e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x(f(x)-e^x-3) dx = \frac{5}{2}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,1)$, știind că $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{f(x)-f'(x)} dx = \frac{1}{6}$.