Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 3A = I_2$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot X - X \cdot A = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+1)\sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \frac{5}{2}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \ln x dx = \frac{e^2+a}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + \frac{1-x^2}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^x + \frac{-2x(x^2+1) - (1-x^2)(2x)}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-2x^3-2x - 2x + 2x^3}{(x^2+1)^2} = e^x + \frac{-4x}{(x^2+1)^2}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{e^x + \frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x + \frac{1-x^2}{x^2+1}}{e^x + \frac{1}{x+1}}$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ a graficului funcției $\displaystyle f$. Deoarece $\displaystyle x \in [-1,1] \implies y \le 0 € f'(x) \ge 0$, f este crescătoare pe $\displaystyle [-1,1] € f(-1) \le f(x) \le f(1)$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$. d) Calculați $\displaystyle \frac{2-e}{2e} - e € f(x) \le \frac{2e+1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x+1)\sqrt{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \frac{5}{2}$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \frac{17\pi}{12}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \ln x dx = \frac{e^2+a}{4}$.