Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A = I_2$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle AX-I_2 = 2021A$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 5x - 5y + 30$.

a) Arătați că $\displaystyle 5 * 2021 = 5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-5)(y-5)+5$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m^2 * n = 16$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = (x-2)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = (x-1)e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f'(x)}{x-2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2-8 \geq 4e^{2-x}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) \operatorname{d}x = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 f(x) \operatorname{d}x = 1+\ln \frac{9}{16}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$ astfel încât $\displaystyle \int_1^a f(x) \operatorname{d}x = \frac{1}{8}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a+2 & 3a+2 \ a & 3a \end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix} 1 & 3 \ 1 & 3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle C=\begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(4)=B\cdot B+2C$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(n)+B)=4$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (0,\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \frac{x y + 1}{x+y}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 1 = 1$.

b) Calculați $\displaystyle ((1 \ast 2) \ast 3) - (1 \ast (2 \ast 3))$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 2x - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(x+1)(x-2)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [-2,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x(x^2-1)+3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-3)dx=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x)-x^3)e^{x}dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx = -a^2+5$.