Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+2x & 0 & -4x \\ 0 & a & 0 \\ x & 0 & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x + y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(3)$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = [0, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = \log_2(2^x + 2^y - 1)$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \ast 2021 = 2021$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast (x + 1) \ast (x + 2) = \log_2 54$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{2} \le \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \le \sqrt{6}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 2x + 3 - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x) + \ln x) \, dx = e^2 + 3e - 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} (2x + 3 - f(x)) \, dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f(x^3 + 1) \, dx = \frac{4(2 - \ln 2)}{3}$.