Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix} x+3y & 4y \\ -2y & x-3y \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1))=0$.

b) Demonstrați că, dacă matricea $\displaystyle A(x,y)$ este inversabilă, atunci $\displaystyle x \neq |y|$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, pentru care $\displaystyle A(m,n) \cdot A(m,-n)=I_2$.

Pe mulțimea $\displaystyle A=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y=4^x y- (1-x-y)$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \circ 0 = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ 1 \ge 5$, pentru orice $\displaystyle x \in A, x \neq 0$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere naturale impare, atunci $\displaystyle m \circ n$ este număr natural impar.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-3 \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x-1)(x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2 \ge 3 \ln x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) e^{-x} dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a} f(x) dx \ge -\frac{2a}{e}$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.