Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x+2 & 3 \\ -1 & x-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(0)) = -1$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care matricea $\displaystyle A(x)$ este inversabilă.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$, astfel încât $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(c)$. Demonstrați că $\displaystyle a^2 + b^2 + 2c = 3$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = [-1,1]$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 1 = 1$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \sqrt{1-x^2} = 1$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = e^x + \ln x - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^x + \frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x + \ln x \ge \sqrt{e} + \ln \frac{1}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[\frac{1}{2}, +\infty\right)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2}{x^2+x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+x+2)f(x) \text{d}x = \frac{17}{6}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{x}{x^2+x+2}$. Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 g(x) \text{d}x = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{a+\sqrt{3}}{2}\ln\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.