Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1+2^a & 2^a \\ -2^a & 1-2^a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(2)-A(1) \cdot A(2)=I_2$.

c) Se consideră numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, astfel încât $\displaystyle A(m) \cdot A(n)=A(m+n)$. Arătați că $\displaystyle m=n=1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = x^2+y^2+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \ast (-1)=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \ast y = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \leq 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+4x-\frac{1}{x+2}\ln(x+2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x+3)(2x+5)}{2(x+2)}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2+4x-f(x)}{x+1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2+4x+\frac{1}{2} \geq \frac{15}{4}\ln(2x+4)$, pentru orice $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1+\frac{2x^2}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)f(x)dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 \frac{x}{f(x)}dx = 4+\ln 5$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x+1) \geq F(x)+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$.