Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 2a-1 & 4a-4 \\ 1-a & 3-2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)\cdot A(b) = A(a+b-1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle A(1)\cdot A(2)\cdot A(3)\cdot A(4)\cdot A(2^n)=A(32)\cdot A(-n)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y = xy - 5x - 5y + 2^2$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ y = (x-5)(y-5)+2^2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x\circ 5 = 5$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x \circ 3^x = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-1$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (\sqrt{x^2+1}+2)^2-2\sqrt{4x^2+4x+2} \le (x-1)^2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x))^2 dx = \pi-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x} dx = 2\sqrt{2}-2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x^2)}{x} dx = \ln(\sqrt{34}-\sqrt{17}+4\sqrt{2}-4)$.