Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,0))=-1$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in(-\infty,0)$ și $\displaystyle b\in(0,+\infty)$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b)$ este inversabilă.

c) Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1,3) \cdot X = A(2,1)$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $\displaystyle x \circ y = 3xy - (x+y) + \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-1) = -\frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 3\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(y-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \circ \frac{1}{\sqrt{2}} \circ \frac{1}{\sqrt{3}} \circ \dots \circ \frac{1}{\sqrt{2021}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1-\frac{1}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Demonstrați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=2021$ este paralelă cu asimptota spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^x\sin x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2f(x)}{\sin x}dx = e^\pi(e-1)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)dx = -\frac{\ln 2}{\sqrt{e^\pi}}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & -a & 1 \\ 2 & a & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 3x+y-z=1 \\ x-ay+z=3 \\ 2x+ay-z=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -3$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B(a) = A(a) \cdot A(a)$ are două elemente egale cu $\displaystyle 0$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că sistemul de ecuații nu are soluții.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3) \ast 3 = 9$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \ast y = \left(x+\frac{1}{2}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{4}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x \ast 4^x = \frac{1}{4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = -1 + \frac{3}{x} + \frac{4\sqrt{x}}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3\sqrt{x}(2-\sqrt{x})}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)-f(4)}{x-4}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2xe^x-2x+1}{x}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \ln x + 2e^x - 2x + 2021$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) \, dx = 2e^e - 4e + 3$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^2 xf(x) \, dx$.