5p Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, știind că $\displaystyle a_1 = \frac{1}{2}$ și $\displaystyle a_4 = 5$.

5p Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = ax+2-a$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(1) + f(-2) = 0$.

5p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 1+2x+6=3 \times (2x+6)$

5p Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să possibil fi scris sub forma $\displaystyle n^3$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

5p În reperul cartezian $\displaystyle x O y$, se consideră punctele $\displaystyle A(0,2)$, $\displaystyle B(0,6)$, $\displaystyle C(4,2)$ și punctul $\displaystyle D$, mijlocul segmentului $\displaystyle BC$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$.

5p Calculați $\displaystyle \sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ - \cos 120^\circ$.

5p Pe mulțimea numerelor reale $\displaystyle M$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \frac{(x-1)(y-1)}{2} + 1$.

5p Verificați dacă $\displaystyle e^{\wedge}3$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle *, *$, unde $\displaystyle e$ este constanta lui Euler.

5p Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x * (1-x) \ge -5$, pentru orice $\displaystyle x otin \{1\}$.

5p Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x*(1-x) \ge -5$, pentru orice $\displaystyle x otin \{1\}$.

5p De exemplu, pentru $\displaystyle n=4k+2$, $\displaystyle k \in \mathbb{N}$, care este acest număr natural par.

5p Determinați tripletul $\displaystyle (m,n,p)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m<n<p$, pentru care $\displaystyle m*n*p=8$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(A) = A^2 - 4A + 4I_2$.

5p Arătați că $\displaystyle A^2 - 4A + 4I_2 = O$, unde $\displaystyle O$ este matricea nulă.

5p Arătați că $\displaystyle A^2 - 2A + 4I_2 = O$, unde $\displaystyle O$ este matricea nulă.

5p Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A^{-1} = m A$.

5p Fie $\displaystyle x, y, z$ numere reale astfel încât $\displaystyle x+y+z=1$. Arătați că $\displaystyle A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+3y \\ -x+y \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+3y \\ -x+y \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+3z \\ -y+z \end{pmatrix}$.

5p Demonstrați că, pentru orice matrice nenulă $\displaystyle n$, matricea $\displaystyle B(6n)$ are toate elementele numere naturale.