Arătați că $\displaystyle \sqrt{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}-1} + \frac{1}{\sqrt{3}+1} \right) = 3$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ pentru care funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-m$ verifică relația $\displaystyle f(1)=0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2\log_2 x = \log_2 (3x+4)$.

După o scumpire cu $\displaystyle 10\%$ prețul unui obiect este $\displaystyle 440$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(1,2)$ și este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=x+2$.

Calculați perimetrul triunghiului echilateral $\displaystyle ABC$, știind că înălțimea $\displaystyle AD$ este de lungime $\displaystyle 3\sqrt{3}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$. Arătați că $\displaystyle (-2)*2 = 6$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$. Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$. Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-2)(y-2) + 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+1)*x=4$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^{2x} * 2^x = 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$. Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x-1)*x \leq 2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=9$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle A(0) \cdot A(2021) = 3A(2021)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=2A(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ și $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = 3A(3)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a^2) - 2A(a) + A(1) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle \det(A(k) \cdot A(k)) \leq 36$.

5p Arătați că $\displaystyle \log_3 6 + \log_3 2 - \log_3 4 = 1$.

5p Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-4$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care punctul $\displaystyle A(m,m)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$.