Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+(a+1)y+(a+2)z=a \\ bx+(b+1)y+(b+2)z=b \\ x+z=1 \end{cases}$ și matricea $\displaystyle X(a,b)=\begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ b & b+1 & b+2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(0,1))=1$.

b) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle x_0^2-z_0^2-2a y_0=3$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=(2,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=(x-1)^{\log_3(y-1)}+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 3*10=17$.

b) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” este $\displaystyle e=4$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x*x*x=x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{e^{2x}+x^4+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle x-\sqrt{3}y=0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un unic punct de extrem.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+3}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 2f(x)dx = \frac{\pi}{4}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

c) Arătați că, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle a<b$, $\displaystyle \int_a^b F^2(x)f(x)dx>0$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.