Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare: $\displaystyle \begin{cases} ax+y-2z=1 \\ 2x+y+3z=2 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)) = 5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații asociat matricei $\displaystyle A(a)$ are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=3$, determinați soluțiile sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle \sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}=0$, sau $\displaystyle x_0=y_0=1$, sau $\displaystyle (x_0, y_0)=(1,0)$.

a) Arătați că $\displaystyle 4^{\sqrt{3}}=\sqrt[3]{4}$.

b) Calculați $\displaystyle x*3$ pentru $\displaystyle x=\sqrt[3]{4}$.

c) Determinați $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x*3=9$, unde legea de compoziție $\displaystyle x*y=x^{\log_3 y}$ pentru $\displaystyle x, y \in G$, unde $\displaystyle G$ este o mulțime cu legea de compoziție $\displaystyle *$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x^2-9)(x^2-4)+3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(x^2-4)+2x(x^2-9)$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{f(x)}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x(x^2-4)+2x(x^2-9)$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x) dx = \frac{\pi}{a} - \sqrt{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) dx = 0$.