a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0, +\infty)$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0, +\infty)$, $\displaystyle \det(A(a) + A(a^{-1})) \ge 8$, unde $\displaystyle (A(a))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(a)$.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle 2 \circ 2 = 2$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle x \circ y = 5$, atunci $\displaystyle x \circ 5 = 5$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle (mx^3) \circ (-mx^2) = m$, pentru orice $\displaystyle m \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4(x^2-1)}{x}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) = 0$ are exact două soluții distincte în intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 1 - \frac{1}{x^4+1})dx = \frac{1}{5}$.

b) Se consideră $\displaystyle F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Știind că graficul funcției $\displaystyle F$ are asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$, determinați panta acestei asimptote.

c) Se consideră funcția $\displaystyle G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0)=0$. Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x G(x) dx = \frac{1}{3} + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \ln 2$.