a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(0))=8$.

b) Determinați matricea $\displaystyle B \in M_3(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle AB=A(a)-2I_3$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \text{det}(A(n)-A(-n)) \ge 0$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \ast 0 = 2$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale astfel încât $\displaystyle a \ast b \le b$, atunci $\displaystyle a \le 0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \ast (x^2+1) \ast (-2x) = 10$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+3}-x}{\sqrt{x^2+3}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are soluție.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+3)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 g(x)dx = \ln \frac{9}{5}$, unde $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{2x+1}{x} \cdot f(x)$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b (f''(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.