Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b,c) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ac & ab \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a, b, c$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0,1,2))=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a,b,c))=(b-a)(c-a)(c-b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, c$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m, n, p$ sunt numere naturale, cu $\displaystyle m<n<p$, astfel încât determinantul matricei $\displaystyle A(m,n,p)$ este număr prim, atunci numerele $\displaystyle m, n, p$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

În mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_3[X]$ se consideră polinomul $\displaystyle f=X^4+\hat{a}X^3+\hat{b}X^2+\hat{c}X+\hat{d}$, unde $\displaystyle \hat{a}, \hat{b}, \hat{c}, \hat{d} \in \mathbb{Z}_3$.

a) Pentru $\displaystyle \hat{a}=\hat{1}$ și $\displaystyle \hat{b}=\hat{2}$, arătați că $\displaystyle \hat{f}(\hat{0})+\hat{f}(\hat{2})=\hat{2}$.

b) Determinați perechile $\displaystyle (\hat{a}, \hat{b}) \in \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$, pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X+\hat{2}$.

c) Arătați că, pentru orice $\displaystyle \hat{a}, \hat{b} \in \mathbb{Z}_3$, există $\displaystyle \hat{x}, \hat{y} \in \mathbb{Z}_3$, cu $\displaystyle \hat{x} \ne \hat{y}$, astfel încât $\displaystyle \hat{f}(\hat{x}) = \hat{f}(\hat{y})$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^x}{e^{2x}+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(e^{2x}+2-2e^{2x})}{(e^{2x}+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ are un unic punct de extrem.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2(x+3)}{\sqrt{x^2+4x+5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)\sqrt{x^2+4x+5} dx = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f^2(x)-4) dx = 4\ln 2$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle 0 \le a < b$. Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_a^b f^n(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n\to\infty} I_n = +\infty$.