Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-a & 2a & 0 \\ -a & 1+2a & 0 \\ 0 & 0 & 1+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(c)$, atunci $\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)=1$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \sqrt{x^2+y^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \ast 4 = 5$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast \sqrt{5} = \sqrt{x+1}$.

c) Demonstrați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, pentru care numerele $\displaystyle m, n$ și $\displaystyle m \ast n$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2-4x+5}{\sqrt{x^2-4x+5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe $\displaystyle [2, +\infty)$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x^2+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^{-x}f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 x \ln(f(x)) dx = 2\ln 2 - 1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a)A(1)=A(1)A(a)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ are rangul doi.

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_6$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = xy+x+y$.

a) Arătați că $\displaystyle \hat{3} \circ \hat{3} = \hat{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \hat{0}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{Z}_6 \to \mathbb{Z}_6$, $\displaystyle f(x)=\hat{4}x \circ \hat{x}$ este bijectivă.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x+1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}$, $\displaystyle x \in (-1,1) \cup (1,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Oy$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( f(2)+f(4)+f(6)+...+f(2n) \right)^n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x-2}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{2\sqrt{3}} (x^2+4)f(x)dx=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^x f(t)dt \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.