Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle A$.

b) Calculați produsul $\displaystyle B \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle det(B+nA) = det(B+n A^T)$.

Pe $\displaystyle \mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x+y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle x*(-x-2) = -2$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x^{\circ} \left( \frac{1}{2} \right) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Arătați că legea de compoziție $\displaystyle *, "\circ"$ nu admite element neutru.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) + \ln(x^2+1) \le \frac{5}{2}$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$, dacă $\displaystyle g(1) = \frac{3}{2}$ și $\displaystyle g'(x) = f(x)+\frac{1}{x^2+1}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)(x+1)) dx = e^2-e^0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f'(x)}{f(x)} dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x \ln(x+1) dx$.