Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(-a) = (2-a^2)I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A(1) \cdot X = A(2)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^2+xy-x-y+1$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 * 2 = 11$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * (-x) = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x * 4^x = 1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+3}{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x+1)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)\sqrt{x^2+4}-x)dx = \frac{5}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 \frac{x}{f(x)\sqrt{x^2+4}}dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.