Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=2$.

b) Arătați că $\displaystyle 3A-A\cdot A = 2I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (xA-I_2)(xA-I_2) = 5A-I_2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x^2+y^2+(x+1)(y+1)^2$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ (-1)=10$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \circ 1 \ge 2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x}+\ln x$, $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+\frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)}\right)dx = \ln\frac{5}{2}$.