Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -2 & 9 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & -3x \\ 0 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(-x) + B(x) = A$.

c) Rezolvați în $\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle B(1) \cdot X = A$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = \frac{x^2 + y^2}{xy}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ \frac{1}{3} = \frac{82}{9}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y \ge 2$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

c) Determinați $\displaystyle a \in M$, pentru care $\displaystyle a^2 \circ \frac{1}{a^2} = 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x(x^2 - 12) + 3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 15$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -13 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, 2]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^3 + x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x^3 - 1) dx = 0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^{2020} (f(x) - x - 1) dx$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g : [1, 2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, este egal cu $\displaystyle \pi \left( 2 \ln 2 + \frac{3}{2} \right)$.