Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 2a+1 \\ a & 2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(10)) = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)-A(b) = (a-b)(A(1)-A(0))$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)) + \det(A(3)) + \dots + \det(A(n)) = 35$.

Pe mulțimea $\displaystyle M = [\sqrt{2}, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x*y = \sqrt{(x^2-2)(y^2-2)+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle 4*\sqrt{3} = 4$.

b) Determinați simetricul elementului $\displaystyle x=\sqrt{6}$, în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{2}*\sqrt{3}*\sqrt{4}* \dots *\sqrt{2020}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2\sqrt{x}(\ln x-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x + 1}{\sqrt{x}}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = \frac{1}{e}$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{e}f(x) + 4 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x-1, x \in (-\infty,0] \\ \frac{3x-1}{x+1}, x \in (0,+\infty) \end{cases}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 e^x f(x) dx = \frac{5-3e}{e}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1-10a & 8a \\ -5a & 1+4a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b-6ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(n)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 3x - 3y + 12$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 3 = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^5 - 5x + 2020$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 5(x-1)(x+1)(x^2+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty, 0]$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x) = 2025$ nu admite nicio soluție în intervalul $\displaystyle [-1, 1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sin x$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [0, \pi]$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 2f(x)f'(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi} xf(x)dx = 1$.