Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x+2 & x+3 \\ x-3 & x-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=5$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ astfel încât $\displaystyle A(-3)+A(-2)+A(-1)+A(0)+A(1)+A(2)+A(3)=nA(0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \ast 1 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ast (-x) \le 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x\sqrt{x^2+2x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+3x+2}{\sqrt{x^2+2x+2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-xe^x)dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{e^2-e+3}{2}$.

c) Se consideră $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitiva funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$. Arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)dx = \frac{5-3e}{3}$.