Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A - A^2) = a^2b^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

b) Se consideră matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle t$ astfel încât $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}$.

c) Pentru $\displaystyle a=4$ și $\displaystyle b=0$, determinați matricele $\displaystyle Y \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle Y \cdot Y = A$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[0, \infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \sqrt{x^2 + y^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 * 4 = \sqrt{26}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x * 0 = \sqrt{x^2 + 1}$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle (x * x) * x = 7$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x \ln(x+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \ln(x+1) + \frac{x}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g: (-1,0] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (x+1)^x$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle x_1, x_2 \in (-1,0]$ astfel încât $\displaystyle x_1 \leq x_2$, atunci $\displaystyle g(x_1) \geq g(x_2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 - x^3$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{3}{4}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^2 f(x) dx = \frac{1}{12}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x))^{n+1} dx \leq \int_0^1 (f(x))^n dx$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.