Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 12+a & a \\ 1+a & 3+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=36$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)-(12+a)I_2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle X \cdot A(0)=A(0)$. Arătați că cel puțin un element al matricei $\displaystyle X$ este număr irațional.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y=x+y-\sqrt{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ (-1) = -\sqrt{2}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x \circ a = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x \circ x = \sqrt{2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2\sqrt{x^2-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2x \left(1-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$, $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2-f(x)}{x}$.

c) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+2)f(x)dx=\frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+\frac{1}{x^2+2}\right)dx=\ln\frac{5}{2}$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(\ln x)}{x}dx=\frac{e^2+5}{4}$.