Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x & 3 \\ -3 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=x^2+9$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(2020-x)+A(2020+x)=2A(2020)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n)A(n)-2A(n)=6I_2$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[0, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = \sqrt{x^2+y^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle N=\sqrt{33}*\sqrt{31}$ este un număr natural.

b) Determinați numărul $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle (x*x)*x=300$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f:[0, +\infty) \to [0, +\infty)$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{2020x}$. Arătați că $\displaystyle f(x+y)=f(x)*f(y)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in [0, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-2}{x^2+5}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(5-x)(x+1)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{10}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{1-3\ln x}{x^4}$ și $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{\ln x}{x^3}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_e^{e^2} x^2 F(x)dx = \frac{3}{2}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 4 & -6 \ 2 & -3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(x)=I_2+xA$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y+xy)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m,n)$ pentru care $\displaystyle M(m)M(n)=M(6)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x\circ y=xy-x-y+2$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ x\le 5$.

c) Calculați $\displaystyle 1^0\circ 2^0\circ 3^0\circ \dots \circ 2020^0$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-e\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-e}{x}$, $\displaystyle x\in (0,+\infty)$.

b) Demonstrați că graficul funcției $\displaystyle f$ nu admite în niciun punct o tangentă paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle e^x-x^e=0$ are exact o soluție în $\displaystyle (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x+1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx=18$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{1}^{n} \frac{f(x)}{x}dx=\frac{3\ln 2}{2}$.