1. Determinați rația progresiei geometrice $\displaystyle (b_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle b_1=2$ și $\displaystyle b_4=-2.$

2. Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-6x+3$. Arătați că $\displaystyle f(0)=f(6).$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(x-2)=1.$

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A=\{1,2,3,7,8,9\}$, acesta să fie mai mic sau egal cu media aritmetică a elementelor mulțimii $\displaystyle A.$

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ de ecuații $\displaystyle y=3x-1$, respectiv $\displaystyle y=ax+5$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că dreptele $\displaystyle d_1$ și $\displaystyle d_2$ sunt perpendiculare.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$ și punctul $\displaystyle D \in AC$, piciorul bisectoarei unghiului $\displaystyle B$. Știind că $\displaystyle BD=CD$, arătați că $\displaystyle m(\angle ACB)=30^\circ.$

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x+ay+5$, unde $\displaystyle a$ este număr real.1. Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, $\displaystyle 4*0=9.$

2. Demonstrați că, pentru $\displaystyle a=1$, legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este asociativă.

3. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este comutativă.

4. Arătați că, dacă legea de compoziție $\displaystyle „*”$ are element neutru, atunci $\displaystyle a=1.$

5. Pentru $\displaystyle a=1$, determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x*x^2)*(x^2*x)=15.$

6. Pentru $\displaystyle a=-3$, determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x*x=2^x.$

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$1. Calculați $\displaystyle \det A.$

2. Arătați că $\displaystyle (A-I_2)(A-9I_2)=O_2.$

3. Se consideră matricea $\displaystyle B=A-5I_2$. Demonstrați că suma elementelor matricei $\displaystyle B \cdot B$ este divizibilă cu $\displaystyle 2^5.$

4. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(aA+I_2)=0.$

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A \cdot M = M \cdot A$, unde $\displaystyle M = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & 2 \end{pmatrix}.$

6. Demonstrați că $\displaystyle \det(A+xI_2)+\det(A-xI_2) \ge 18$, pentru orice număr real $\displaystyle x.$