1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{96}:\sqrt{6} - \frac{1}{4} \sqrt{16} = 2$.

2. Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x-1$. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f(n)=g(n) = 0$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{2x+5} = 3^{6x-3}$.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu dublul cifrei unităților.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele necoliniare $\displaystyle A(1,3)$, $\displaystyle B(3,5)$ și $\displaystyle C(0,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$.

6. Arătați că $\displaystyle \sqrt{3} \sin 60^\circ + \sin 30^\circ - 4\sin^2 30^\circ = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = -xy + 4x + 4y - 12$. 1. Arătați că $\displaystyle 2 \circ 3 = 2$.

2. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

3. Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

4. Demonstrați că $\displaystyle x \circ 4 = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

6. Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = -5$ și rația $\displaystyle r=3$. Arătați că $\displaystyle a_1 \circ a_2 \circ a_3 \circ a_4 = 4$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

2. Arătați că $\displaystyle B(1) + B(3) = 2B(2)$.

3. Arătați că $\displaystyle \det(B(x)) = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

4. Arătați că $\displaystyle B(x) \cdot B(y) = B(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

5. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

6. Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle (m,n)$, pentru care $\displaystyle B(2^m) \cdot B(2^n) = B(2^{m+n}-2)$.