1. Se consideră o progresie aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = 5$ şi $\displaystyle r = -2$. Calculați $\displaystyle a_3$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle a$, ştiind că punctul $\displaystyle A(1,2)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+a+3$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2-2}=x$.

4. Un pix costă de cinci ori mai mult decât un creion şi de şapte ori mai puțin decât un stilou. Determinați cât costă un creion, dacă un stilou costă 70 de lei.

5. Se consideră un paralelogram $\displaystyle ABCD$ şi $\displaystyle O$, punctul de intersecție a dreptelor $\displaystyle AC$ şi $\displaystyle BD$. Arătați că $\displaystyle \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD})$.

6. În triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, avem $\displaystyle AC=2AB$ şi $\displaystyle BC=5$. Arătați că perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$ este egal cu $\displaystyle 3\sqrt{5} + 5$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x^2 - xy + y^2$.

1. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2 = 3$.

2. Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

3. Dacă $\displaystyle a=(1 \circ 3) \circ 2$ şi $\displaystyle b=1 \circ (3 \circ 2)$, calculați $\displaystyle b-a$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 4$.

5. Demonstrați că, dacă $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle x \circ y = 0$, atunci $\displaystyle x=y=0$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ 2^x = 7$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A(5)) = 1$.

2. Calculați $\displaystyle \det(A(1) + A(2))$.

3. Demonstrați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ şi $\displaystyle b$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(2a) = A(30)$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(I_2 + xA(x)) = 25$.

6. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot A(n) = A(2n^2)$.