Arătați că $\displaystyle \sqrt{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right) = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+m$, unde $\displaystyle m$ este număr natural. Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(-1) \le 0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2\lg x = \lg(2x+8)$.

După o ieftinire cu $\displaystyle 10\%$, prețul unui obiect este $\displaystyle 540$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle M(2,-2)$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = x$.

Calculați perimetrul pătratului $\displaystyle ABCD$, știind că are diagonala $\displaystyle AC = 2\sqrt{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = 2xy-4(x+y)+7$. Arătați că $\displaystyle (-2) * 2 = -1$.

Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2(x-2)(y-2)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x+1) * x = 3$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^{2x} * 2^{x} = -1$.

Determinați valorile reale nenule ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * \frac{1}{x} \le -1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det\left(A(a)\right) = 4$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Arătați că $\displaystyle A(0) \cdot A(2020) = 2A(2020)$.

Demonstrați că $\displaystyle A(-a) \cdot A(a) = 4I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = 2A(2)$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A\left(a^{2}\right)-2A(a)+A(-3) = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Demonstrați că există o infinitate de perechi de numere reale $\displaystyle (x,y)$ pentru care $\displaystyle A(-3) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2y \\ 2x+y \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{6}{\sqrt{27}+\sqrt{8}} = 1$.

2. Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+1$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x+2$. Determinaţi numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f(n) \le g(n)$.