Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2-a & a \\ 1 & 1 & 1 \\ a & 2a-5 & a-2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x + (2-a)y + az = 1 \\ x + y + z = 2-a \\ ax + (2a-5)y + (a-2)z = -4 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) = (a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere naturale.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \log_2(2^x + 2^y)$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 * 0 = 1$.

b) Demonstrați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x * x) * x = 3 + \log_2 3$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^4 - x^2 + 1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x(2x^2 - 1)}{\sqrt{x^4 - x^2 + 1}}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$, ecuația $\displaystyle f(x) = m$ are exact patru soluții reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2 + 2x + 5}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \left(x \cdot \frac{1}{f(x)} - 1\right) dx = \frac{31}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 g(x) dx = \frac{1}{2} \ln \frac{8}{5}$, unde $\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) + \frac{1}{x^2 + 2x + 5}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_{-1}^1 x^{2n-1}f(x) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.