Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1+lnx \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y) = A(xy)$ pentru orice $\displaystyle x, y \in (0, +\infty)$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A\left(\frac{1}{3}\right) A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = xy - 4x - 4y + 20$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Pentru $\displaystyle a=10$, arătați că $\displaystyle 1 * 2 = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle x, y \in [20, +\infty)$, atunci mulțimea $\displaystyle H = [4, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „*”.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to (0, +\infty)$, $\displaystyle f(x) = 6^x - 3^x + 2^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = \ln 4$.

b) Se consideră tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a, \ln(16e))$ este situat pe această tangentă.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 1 - \frac{2x}{x^2+3} + \frac{2}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+3)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 1 - \ln \frac{4}{3} - \frac{\pi\sqrt{3}}{9}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f^n(x)dx$. Arătați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = 0$.