Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ a^2+1 & a^2+2 & a^2+3 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -1$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care inversa matricei $\displaystyle A(a)$ are toate elementele numere întregi.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[1, +\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = \frac{1}{2}\sqrt{x^3y^3-x^3-y^3+9}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2020=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y = \frac{1}{2}\sqrt{(x^3-1)(y^3-1)+8}$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x*x=x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x-2} + \ln \frac{1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-3x+4}{x(x-1)(x-2)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x-2} > \ln \frac{1}{x-1}$, pentru orice $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f^2(x) dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x^2+1} dx = \frac{1}{3}\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 f(x^n) dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.