Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 4 & a & 1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+2y+z=4 \\ 4x+ay+z=6 \\ x-y+az=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ are rangul 2.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = xy - \frac{1}{2}(x+y) + \frac{1}{4}$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \ast y = (x-\frac{1}{2})(y-\frac{1}{2})+\frac{1}{4}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x \ast x = \frac{1}{x} \ast \frac{1}{x} \ast \frac{1}{x}$.

c) Arătaţi că nu există numere întregi $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, astfel încât $\displaystyle x \ast y$ să fie simetricul lui $\displaystyle y$ în raport cu legea de compoziţie „$\displaystyle \ast$”.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, f(x)=x^2-8x+8\ln x+2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-2)^2}{x}, x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(3,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$ astfel încât punctul $\displaystyle M(a,b)$ este situat pe graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, g(x)=x^2-8\ln x+2$ și punctul $\displaystyle N(a,c)$ este situat pe graficul funcției $\displaystyle h:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, h(x)=8x-12$. Demonstrați că $\displaystyle b \ge c$, pentru orice $\displaystyle a \in [2,+\infty)$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^2+4)f(x)dx = -\frac{11}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0]$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_1^n x^n f(x)dx$. Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n = -\infty$.