a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b) = A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(3) \cdot X = A(5)$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)\left(y - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = 14$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \left(2^n * \frac{3}{2}\right) * \left(2^{n+1} * \frac{3}{2}\right) * \left(2^{n+2} * \frac{3}{2}\right) = 2^{20} + \frac{3}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2 - 3x + 1)}{(x-1)^3}$, $\displaystyle x \in (1, +\infty)$.

b) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $\displaystyle A(0,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(2) + f(3) + \dots + f(n)\right)^{n}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{f(x)}dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

c) Arătați că există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{t^2}dt = x$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle A(n)=A(1)A(2)A(3)...A(2020)$, atunci numărul natural $\displaystyle n$ este multiplu de 2021.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ \sqrt{3}=\sqrt{3}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt{5} \circ \sqrt{6} \circ \sqrt{7} \circ ... \circ \sqrt{100}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-x(x+2)}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(g(1)+g(2)+...+g(n)) = e-1$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{(x+2)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx=2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=2-\ln 2$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 e^x(f(x))^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_n+2nI_{n-1}=3^n e-1$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.