Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ x-1 & x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(2xy-x-y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(a) \cdot A\left(\frac{1}{2}\right) = A\left(\frac{1}{2}\right) \cdot A(a)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \ast y = x+y-\frac{xy}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle 6 \ast 2 = 5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast (4x) = 16$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \ast 2 \ast 3 \ast \dots \ast 2019$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3+\frac{x-3}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{4-x}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [5,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x-3 \le e^x-1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=6x^2+4x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=5$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{x}dx=13+\ln a$.