Se consideră determinantul $\displaystyle D(a)=\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \ a & 3 & 5 \ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle D(0)=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle D(a)=12(a-5)+(a-1)(a-2)$ pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele intregi $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(a)<3a-3$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1-x & 1-y \ x+y & 1+x+y \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle M(-1)+M(1)=2M(0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x) cdot M(y)=M(x+y)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ → ℝ$, $\displaystyle f(x) = x^2-5x+4$.

a) Arătați că $\displaystyle lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}=-3$.

b) Calculați $\displaystyle lim_{x \to ∞} \frac{f(x)}{x+1}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +∞$ la graficul funcției $\displaystyle g: (0, ∞) → ℝ$, $\displaystyle g(x) = \frac{x^2-5x+4}{x}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ → ℝ$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \sqrt{1-x}, & x \in (-∞, 1] \\ \frac{2-x^2}{2-x}, & x \in (1, \u221E) \end{cases}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-2}{x+3}$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.