Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle det(A-3I_2)=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) = 4A-I_2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle det(aA+M)=0$, unde $\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-4X^2+X+2$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle f(2)=2m-6$ pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Calculați $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x_1 = 1-\sqrt{2}, x_2 = 1+\sqrt{2}, x_3 = 1+m$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=7x^2-5x+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=7(2x-1)$ pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle L = \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq \frac{52}{49}$, pentru orice $\displaystyle x \in \left[-\infty, \frac{1}{7}\right]$ și pentru orice $\displaystyle x \in \left[\frac{1}{7}, \infty\right)$

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+8x-2}{x-2}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$, $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ și $\displaystyle f(0)=2$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$, $\displaystyle f$