Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -6 & -9 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & a+2 \\ a-2 & a+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 21$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a) - A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = M$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2(x + y) - xy$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \circ (-2) = 2$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n \circ \frac{1}{2} = 9$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ astfel încât $\displaystyle x \circ y = 8$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(2+x)}{(x^2+4)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x) \, dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x) \, dx = \ln \frac{9}{8}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle p$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \ln (p^2 + \frac{1}{3})$.