Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} 1+a & -a \\ a & 1-a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2.$

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a) \cdot M(b) = M(a+b)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b.$

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle M(1) \cdot X \cdot M(-1) = A.$

Se consideră polinomul $\displaystyle f = 2X^3 - 4X^2 + 4X - 3.$

a) Arătați că $\displaystyle f(0) = -3.$

b) Demonstrați că numărul $\displaystyle a = \frac{3}{x_1 x_2} + \frac{3}{x_2 x_3} + \frac{3}{x_3 x_1}$ este natural, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile lui $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că polinomul $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x-5}{x^2+5}.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{5(1-x^2)}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}.$

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f.$

Se consideră funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x) = (x-2)e^x + 2019$ o primitivă a funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}.$

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{e}.$

b) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-2)e^x + 2019$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f.$

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 F^2(x)f(x)dx.$