Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 6 & -10 \ 3 & -5 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a)=I_2+aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a)M(b)=M(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+...+M(2019)=2019M(a)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+2X^2-mX-2$, unde $\displaystyle m$ este număr real nenul.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=0$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-4$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x^3-3x+5$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-1)(x+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle [0,+\infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 7$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 1]$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{3x^2+6x+7}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f^2(x)-6x-7)dx=11$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{x+1}{f^2(x)}dx$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$, suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=a$ are aria mai mare sau egală cu $\displaystyle a\sqrt{7}$.